麦克劳林级数计算器

 

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麦克劳林级数计算器可帮助您确定给定函数围绕给定点的麦克劳林级数展开。

我们的计算器采用导数来获得必需的多项式，并用于获得简化后的级数。

什么是麦克劳林级数？

在数学中，麦克劳林级数被定义为特定函数的扩展级数。在这个级数中，给定函数的近似值可以确定为任何函数的导数之和。当函数展开为零而不是其他值时，a = 0。

麦克劳林级数公式：

麦克劳林级数计算器用于计算任何函数的级数展开式的公式是：

Σn=0∞fn(0)n!xn Σ^∞_{n=0} \frac{f^n (0)} {n!} x^n

其中 f^n(0) 是函数 f(x) 求得的 n 阶导数，n 是 x = 0 的阶数。该级数在中心点附近会更精确。当我们从中心点 a = 0 偏移时，该级数作为函数近似值的精度会降低。

求麦克劳林函数级数的步骤如下：

您可以使用计算器精确地找到展开的级数。但如果您想手动操作，请按照以下说明操作：

  • 首先，取函数及其范围来找到 f(x) 的级数。
  • 麦克劳林公式如下f(x)=∑k=0∞fk(a)∗xk/k! f(x)=∑k=0^∞ f^k (a)* x^k/ k!
  • 通过求函数导数并添加给定函数中的范围值来找到 f^k (a)。
  • 现在，计算每个步骤的分量 k！。
  • 然后，将得到的值添加到公式中并应用 sigma 函数来得到解决方案。

例子：

计算 sin(y) 至 n = 4 的麦克劳林展开式？

解决方案：

给定函数 f(y)= Sin(y) 和序点 n = 0 到 4

该函数的麦克劳林方程为：

f(y)=∑k=0∞f(k)(a)∗yk/k! f(y)=∑k=0^∞ f (k) (a)* y^k/ k!

f(y)≈∑k=04f(k)(a)∗yk/k! f(y)≈ ∑k=0^4 f (k) (a)* y^k/ k!

因此，计算导数并在给定点对其进行评估，以将结果放入给定的公式中。

F0(y)=f(y)=sin(y) F^0(y) = f (y) = sin(y)

评估函数：

f(0)=0f (0) = 0

取一阶导数

f1(y)=[f0(y)]′ f^1(y) = [f^0(y)]'

[sin(y)]′=cos(y) [sin(y)]' = cos(y)

[f0(y)]′=cos(y)[f^0(y)]' = cos(y)

计算一阶导数

(f(0))′=cos(0)=1(f (0))' = cos(0) = 1

二阶导数：

f2(y)=[f1(y)]′=[cos(y)]′=−sin(y)f^2 (y) = [f^1 (y)]' = [cos (y)]' = - sin(y)

(f(0))′′=0(f (0))′′=0

现在，取三阶导数：

f3(y)=[f2(y)]′=(−sin(y))′=−cos(y) f^3(y) = [f^2(y)]' = (- sin (y))' = - cos(y)

计算三阶导数(f(0))′′′=−cos(0)=−1 (f (0))''' = - cos (0) = -1 四阶导数：

f4(y)=[f3(y)]′=[−cos(y)]′=sin(y)f^4 (y) = [f^3 (y)]' = [- cos (y)]' = sin (y)

然后，求函数 (f(0))'''' = sin(0) = 0 的四阶导数

因此，在公式中代入导数的值

f(y)≈0/0!y0+1/1!y1+0/2!y2+(−1)/3!y3+0/4!y4 f(y) ≈ 0/0! y^0 + 1/1! y^1 + 0/2! y^2 + (-1)/3! y^3 + 0/4! y^4

f(y)≈0+x+0−1/6y3+0 f(y) ≈ 0 + x + 0 - 1/6 y^3 + 0

sin(y)≈y−1/6y3 sin(y) ≈ y-1/6 y^3

我们的计算器如何工作？

麦克劳林计算器按照以下准则找到任何函数的幂级数扩展：

输入：

  • 首先，从下拉列表中输入关于任意变量的给定函数。
  • 现在，用该值代替 n。
  • 然后，找出该系列并确定该点的误差。（可选）
  • 单击扩展系列的计算按钮。

输出：

  • 计算器计算给定点周围的函数级数。
  • 它取特定函数的导数来获得多项式，从而得到最终结果。
  • 麦克劳林多项式计算器显示所有导数和多项式的逐步计算。